?

Log in

Previous Entry | Next Entry

Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9:25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.


Решение.

Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии, поэтому рассматриваем всего два случая.

I. Прямую провели из вершины В. (Для вершины С всё аналогично)

Надо найти отношение площади треугольника АВМ к площади трапеции АВСD.

Проведём высоту трапеции ЕТ через центр О, которая одновременно является диаметром окружности.




Треугольники ВЕО и МОТ равны (по стороне и двум углам: ЕО=ОТ=r, углы ВЕО=ОТМ=90 градусов, углы ВОЕ=ТОМ как вертикальные). но АВЕТ - половина трапеции АВСD, следовательно отношение площади треуголника АВМ к площади трапеции АВСD  равно
1/2.

II. Второй вариант - прямую провели из вершины А. (Для вершины D всё аналогично)


Надо найти отношение площади треуголника АLD к площади трапеции АВСD.

Здесь можно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции, но я начну плясать от печки.

1) Из центра окружности проведём радиусы к точкам касания.

Прямоугольные треугольники RBO и ВЕО равны по двум сторонам (ВО - общая, RO=ЕО=r), аналогично равны ЕОС и СОG, треугольники ВЕО и ЕОС тоже равны по двум катетам, поэтому
RB=ВЕ=ЕС=СG=b/2  (где b - основание ВС)

Из тех же соображений RА=АТ=ТD=DG=а/2 (где а - основание АD).

По условию периметр трапеции Р=136, то есть 2а+2b=136, а/2+b/2=34

Но боковая сторона делится точкой касания окружности (точкой R) как 9:25, то есть получаем:
а/2=25, b/2=9

2) Из точки D проведём высоту до продолжения с прямой А
L, и продолжим прямую АL до продолжения основания b

Эти две прямые пересекаются в точке К, которая лежит и на прямой ВС (понятно из подобия треугольников АТО и АDК (коэффициент подобия равен 1/2)

3) Мы получили два подобных треугольника СLК и АLD (по трём углам)

а':a=h':h

а'=(a-b)/2=16
h':h=а':a=16/50=8/25
h=25z
H=h'z+hz=8z+
25z=33z

Площадь треугольника АLD равна
аh/2=(50*25z)/2=625z
Площадь трапеции АВСD равна
(а+b)H/2=((50+18)*33z)/2=1122z

Отношение площадей треугольника АLD и трапеции АВСD
625/1122

Ответы: 1/2; 625/1122


Метки:

Comments

( 18 Уже прокукарекали — Прокукарекать )
qqqsss
22 фев, 2016 14:08 (UTC)
Добрый вечер!)
Как у вас изящно, наглядно и вариативно.
super_kakadu
22 фев, 2016 14:43 (UTC)
Пусть вечер будет славным!
Спасибо Вам большое за добрые слова.

*Уже кучу опечаток нашёл. Те, что нашёл - исправил, но буду продолжать поиски. =)

Edited at 2016-02-22 14:48 (UTC)
qqqsss
22 фев, 2016 15:39 (UTC)
Спасибо, я прилагаю усилия для удачного вечера)

Как у вас с погодой? Нас с ночи засыпает снегом, да еще ветер. Завьюжило, -5.
qqqsss
22 фев, 2016 17:02 (UTC)
Никакой стабильности! Буквально творят, что хотят (с)
Спасибо, буду иметь в виду)
super_kakadu
22 фев, 2016 17:18 (UTC)
Вот точно - сплошные внезапности. =)
qqqsss
23 фев, 2016 15:47 (UTC)
*докладывает* Все точь-в-точь, как вы и сказали! Потеплело до +1, сугробы тают, по асфальту реки.
super_kakadu
23 фев, 2016 15:52 (UTC)
Но в противовес ко всему происходящему я Вас поздравляю с праздником! =)
qqqsss
23 фев, 2016 17:21 (UTC)
Урааа!)) Спасибо) И вас тоже с праздником)
avkost1955
22 фев, 2016 20:18 (UTC)
Здорово! Очень наглядно и понятно изложено.
super_kakadu
22 фев, 2016 20:38 (UTC)
Спасибо большое. Теперь осталось только от всех опечаток избавиться. =)
avkost1955
22 фев, 2016 20:41 (UTC)
Опечатки это пустяки, главное - правильное и наглядное построение:)
super_kakadu
23 фев, 2016 08:38 (UTC)
Я вот тоже понадеялся на то, что суть понятна. Но всё-таки хочется оплошности убрать. =)
karyatyda
23 фев, 2016 09:33 (UTC)
Ничего не понимаю в геометрии, но с удовольствием читаю: для меня решение таких задач сродни волшебству.))
super_kakadu
23 фев, 2016 09:46 (UTC)
Как приятно читать тёплые слова! Благодарю Вас, я очень старался, чтобы получилось понятно и легко.
karyatyda
23 фев, 2016 09:53 (UTC)
Тих надеюсь пропитаться знанием и наконец разобраться.)
super_kakadu
23 фев, 2016 09:56 (UTC)
Да-да, мне кажется, что это просто очень красиво!
( 18 Уже прокукарекали — Прокукарекать )