?

Log in

Previous Entry | Next Entry

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.



Решение.

1)

Треугольник АСD вписан в окружность радиуса R, тогда, используя расширенную теорему синусов, получаем, что

CD/sinCAD=2R

16/sinCAD=2R (**)

2) Аналогично всё и для треугольника АВD

АВ/sinАDВ=2R

25/sinADВ=2R

3) так как у нас одна и та же окружность, то

25/sinADВ=16/sinCAD , следовательно

25/16=
sinADВ/sinСAD    (*)

4) Теперь рассмотрим треугольник АКD

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то

<ADВ+<СAD=60°
<ADВ=60°-<СAD
Далее по ходу решения воспользуемся формулой

sin(α-β)=sinα×соsβ - sinβ×соsα   ,

но сначала вернёмся к выражению (*)


sinADВ/sinСAD=25/16

то есть

sin(60°-<СAD)/sinСAD=25/16

(sin60°×соsСAD - sinСAD×соs60°)/sinСAD=25/16











5) Осталось найти sinСAD, для этого воспольщуемся методом треугольника.

Так как котангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то мы можем нарисовать



Тогда можно найти и третью сторону треугольника


получаем, что синус угла равен


Подставив значение синуса угла САD в формулу (**) получаем




Метки:

Comments

( 48 Уже прокукарекали — Прокукарекать )
luvida
12 мар, 2016 07:03 (UTC)
Я, Птиц, всё равно не поняла бы про опечатку. В в твои "геометрии" зайду, посмотрю и, вздохнув, иду дальше)))
super_kakadu
12 мар, 2016 08:54 (UTC)
Люба, я тебе очень благодарен, что ты заходишь.
luvida
12 мар, 2016 10:25 (UTC)
Да что ты!)))
super_kakadu
12 мар, 2016 11:00 (UTC)
Я продолжаю надеяться, что, вдруг, кому-нибудь это всё-таки пригодится - для детей или внуков. =)
luvida
12 мар, 2016 11:03 (UTC)
И ты прав, Птиц.
У тебя очень интересный журнал. Столько судеб в нём описано!
super_kakadu
12 мар, 2016 11:04 (UTC)
Спасибо большое, Люба.
sko4
30 мар, 2016 00:32 (UTC)
что, вдруг, кому-нибудь это всё-таки пригодится
Конечно пригодится! Занимательная геометрия вкладыватся с измальства и лишь тогда чаще укладывается затем в голове . Странно, что то, что в школе "легко давалось", в моём например возрасте вообще не вспоминаемо, наверное всё потому, что на уроке одна задача имелась - написать контрольную на хорошую отметку, то есть назапоминать формул и применить при решении задачи, (как зазубрить теорему и нарисовать зазубренное при ответе у доски) -абсолютно не "раскидывая мозгами", ну то есть без логического решения с подходом.
Хотя мне всё равно не представить, как можно вычислить длину дуги окружности умозаключением? Или таки необходимый для данного расчета коэффициент численностью-пи (тот, что 3.14и т.д.цифр) всё таки был определён практически? Вот мамочка показала нам быстро (вернее доказала , что при данном вычислении необходимо таки знать формулу) как она всегда считала можно определить диаметр без линейки: нужно взять лампочку, обмотать её ниткой, затем эту нитку сложить пополам - вот и диаметр, благо совершить сей опыт легко и мы быстро удостоверились, что без применения значения коэффициента погрешность результата очевидна
qqqsss
12 мар, 2016 09:02 (UTC)
Так вот она, теорема-то синусов куда!))
super_kakadu
12 мар, 2016 09:51 (UTC)
Ага, пригодилась, голубушка. =)
nota_x
12 мар, 2016 16:07 (UTC)
Птиц, думать сегодня вообще не хочется)
super_kakadu
12 мар, 2016 18:34 (UTC)
Наташа, так это я для "потом" стараюсь - вот подойдёт время экзаменов, а у вас уже и материал для подготовки есть. =)
luckyed
13 мар, 2016 06:42 (UTC)
Чертёж нарисовал, грустно на него поглядел и...
Времени подумать совсем не было.
super_kakadu
13 мар, 2016 12:36 (UTC)
Со временем совсем завал - очень хорошо тебя понимаю. =(
sko4
30 мар, 2016 01:02 (UTC)
Доброго времени суток!
Пожалуй обращусь за помощью к родителям, у которых дети прекрассного возраста, но увы, не в каждой семье родители находят время "учится" вместе с ребёнком, благо теперь бабушки и дедушки образованные ( в мою школьную пору дед смог решать задачки только до второго класса, хотя у бабушки и имелось багажа знаний на целых три класса образования начальной школы (она была 1917года рождения), но увы детки-подрастающие редко сидя на коленях у дедушек соглашаются просматривать те файлы, которые интересны не им (например мне не удалось бы в своё время вынудить сынулю совместно прочитывать жЖурнал Какаду, даже если бы тогда такой прогресс уже наступил . То есть высидит то он из почтения-уважения высидит, но ни вдумываться, ни уж тем более додумываться не стал бы, но вот теперь, когда "школа жизни осталась за плечами= сдана как зачёт, подчас обращается к своим дедулям за разъяснениями , хотя теперь то уж казалось бы, как сам от мне подчас отвечает: зайди в интернет и задай вопрос - практика с теорией, наверное, не всегда обязательно "ходят парой одна за другой)
изПрактики: Ах да, когда то бабушки пытались привить своему внуку тягу к чтению , вычитали, что "если ваш ребёнок не желает читать, читайте ему сами", я принудилу сыну перед сном слушать моё для него чтение, угадайте о чём он меня попросил вопросом, вернее как он от моих "вечеров чтений" отделался: он спросил:"мама, а для чего ты читаешь?"
luckyed
30 мар, 2016 05:27 (UTC)
Re: Доброго времени суток!
Нам своих детей удалось приохотить к чтению, хотя это и не просто в наше время. И даже прилично русским языком овладели. Пусть третий (после иврита и английского), но родной.
А к математике я их лично приохочивал. Бывший учитель )))
sko4
30 мар, 2016 18:23 (UTC)
Re: Доброго времени суток!
Оу!!! Повезло Вашим детям, что ещё скажешь? ))) Мне, конечно уже сейчас вроде как и не к чему (сынуля вырос), но вдруг у Вас найдётся минутка мне для внуков порекомендовать способ приохочивания?
Моя сложность с сыном была такова: он сидел и за тетрадкой и за учебником (не послушность в нашем доме не терпелась), но абсолютно не вникал и уж тем более не "додумывался" (специально употребила в кавычках его термин, когда однажды на контрольной Учителю всё таки удалось заставить Антошку решать, он мне потом рассказывал с удивлением :" И я додумался?!"), видимость, что решает или даже читает, но всегда находил чем себя занять-своими мыслями в вынужденном просиживании (понятно, что в угол такого ребёнка было ставить, всё равно, что конфетами одаривать)) Вот я и спрашиваю, как такому ребёнку привить.... вдруг и внуки с такими же "прибамбасами прозорливыми" народятся ?
sko4
30 мар, 2016 18:33 (UTC)
Re: Доброго времени суток!
И , изините, что не поблагодарила прежде за комментарий Ваш мне - большое спасибо, что написали, и за радушие, с которым вообще комментируете - с уважением, светлана.( к сожалению кроме русского разговорного никакими другими знаниями языков не обладающая, потому отдельной строкой благодарю за наши разговоры на русском-родном!)
sko4
30 мар, 2016 18:44 (UTC)
Re: Доброго времени суток!
Извините, ещё раз за беспокойство: прочитала решение, любезно предоставленное СуперКакаду, и точно усвоила, что таким способом, через синусы-котангесы ни за что не додумалась бы, или не доискалась решения)))
Столь не сложная геометрия: найти диаметр (одна из сторон треугольника, на которые разбит четырёхугольник ( я вообще удивилась, что ещё в столь подробном условии уже не указан уже готовый ответ или составляющие формулы нахождения длины окружности : пи х диаметр в квадрате кажется? Отчего от этой формулы методом тругольника не доискаться до диаметра? Потому что ГеометрияПопугайская? Типа алгоритма программы, если решение напишешь на "пальцах" тебя никто не поймёт, уже научены решать только тригонометрически??)),,
luvida
18 мар, 2016 18:54 (UTC)
Какаду, а у меня к тебе вопрос появился. Что ты знаешь о таком литературном кружке "Серапионовы братья"? Ведь явно знаешь! Расскажи, пожалуйста, при случае)
super_kakadu
18 мар, 2016 19:05 (UTC)
Люба, как же я тебе рад!

Хорошо, попробую рассказать.
super_kakadu
22 мар, 2016 17:51 (UTC)
Люба, прости - я напишу, но попозже: всё надеюсь, что зрение станет лучше.
luvida
22 мар, 2016 17:53 (UTC)
Конечно, Какаду. Ты выздоравливай. Помощь нужна?
super_kakadu
22 мар, 2016 18:08 (UTC)
Спасибо большое, Люба, всё идёт - как идёт, мы справляемся сами.
chiliu
24 мар, 2016 12:54 (UTC)
Привет, Какаду))))
Я геометрию подзабыла изрядно)

* а операцию какую сделать?не вариант?


Обнимашки)))*а компа у мен так и нет
super_kakadu
25 мар, 2016 17:05 (UTC)
Люсия, я тебе в письме ответил.

И обнимашки! =)
sko4
30 мар, 2016 18:58 (UTC)
Ну, Супер Птиц, "задел-таки=зацепил"
Придётся "перекатать" твоё условие на лист тетрадный шариковой ручкой и завтречко на раб.поприще "отдаться" геометрическим рисованиям-вспоминаниям ( вместо книги фантастической), затем по приходу с работы домой снова взять ручку шариковую и скурпулёзно переписать представленное тобой решение, затем с твоим и своим решением обратиться к папочке с просьбой сопоставить два решения с целью выбрать не наиболее короткое решение, а за разъяснениями о связи алгеброической и геометрической ( как рисунок тригономенрией рассчитать),
Птиц, не дуйся, пожалуйста, и поправь сразу, что бы я папочке ( я ж дотошная) поконкретней задачу сформулировала, ну то есть не решить=найти длину окружности исходя из имеющихся данных, а разъяснить такой способ нахождения решения (без пространственного представления) - с уважением, света ( п.с. и что бы совсем нахалкой я тебе не показалась, пожалуйста поторопись: времени у тебя до вечера пятницы, потому, что в субботу с утра намереваюсь к родителям за город вообще, и к папочке в частности в гостёчки - печку топить и о тригонометрии не_судачить
sko4
30 мар, 2016 19:17 (UTC)
Re: Ну, Супер Птиц, "задел-таки=зацепил"
ак как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то

<ADВ+<СAD=60° <ADВ=60°-<СAD ???? А разве угол АКД равен не 180-60=120градусов? Какаду, помоги, сумма углов в треугольние составляет 180град или 360? Таааак, придётся тоже почертить и не на досуге
super_kakadu
30 мар, 2016 22:09 (UTC)
Re: Ну, Супер Птиц, "задел-таки=зацепил"
Света, я сейчас не могу отвечать на твои вопросы - мне тяжело комментировать.
sko4
31 мар, 2016 04:28 (UTC)
Re: Ну, Супер Птиц, "задел-таки=зацепил"
Конечно, ЧудоПтица, сПасибки, что дал о себе знать, если сможешь, чиркни: всё ли у тебя блакополучно? Здоров , надеюсь?
А я , с твоего позволения порешаю, а когда дорешаюсь (упрусь действительно в тупик) проконсультируюсь у бывшего Учителя, который любезно ответил на мой комментарий, и конечно поправит "ход размышлений" СуперКакаду, ты только пожалуйста "кукарекай" изредка, потому что тревожно, когда ты "замолкаешь" - очерков не пишешь.
С уважением, светлана*)
sko4
30 мар, 2016 19:33 (UTC)
?????
Ну вот отчего по "моим расчётам" <ADВ+<СAD=-60°+180град=120градусов?? и никак не может быть не по 30град и 30град каждый из остальных двух уголов, наверное потому, что для вычисления радиуса не требуется искать диаметр, да?
luvida
30 мар, 2016 20:36 (UTC)
Добрый вечер, Птиц!)
super_kakadu
30 мар, 2016 20:46 (UTC)
Я продолжаю надеяться и верить в хорошее. =)
luvida
31 мар, 2016 08:13 (UTC)
Даже не сомневаюсь))))
sko4
31 мар, 2016 18:35 (UTC)
опечатка
как раз подумала напомнить или поправить или попросить дополнить
luckyed мои "воспоминания" (о треугольниках и углах в них 1-равносторонний=все углы по 60град, равнобедренные (их два вида) и разносторонний....на раб.поприще имела время "попредставлять" и намеревалась у тебе СуперКакаду испросить: возможно ли воспользоваться "подручными средствами": линейка, карандаш, транспортир и лист? Комментарии все умышленно не читала, (до сей минуты), опасаясь "нарваться" на подсказку со стороны комментирующих. Даже подумала, что нужно бы поставить "только для взрослых", вспомнив случай, как мой сынуля однажды из интернета решение задачи по "скатал" , я, проверяя решение подумала ( и кстати его предупредила и поправила), что умышленно ошибка допущена....
Ладно, СуперПтица, поняла, что у тебя что то со зрением, неудобно спрашивать, и всё же - что???? (просто скинь ссылку на тег, в котором ты об этом сообщаешь, пожалуйста)
luvida
3 апр, 2016 14:22 (UTC)
Привет, Какаду!)
super_kakadu
3 апр, 2016 15:56 (UTC)
Добрый день, Люба!

Спасибо тебе.
nota_x
6 апр, 2016 18:54 (UTC)
Привет, Птиц) Все ли ладно?
super_kakadu
6 апр, 2016 20:20 (UTC)
Здравствуй, Наташа, спасибо.

Глаза сейчас лечу, так что очень мало пишу и читаю пока.
nota_x
8 апр, 2016 08:22 (UTC)
выздоровления скорейшего)
luvida
6 апр, 2016 19:08 (UTC)
Добрый вечер, Птиц!)
lorik
9 апр, 2016 14:19 (UTC)
У Бармалея боли, у Бабы Яги боли, а у Какаду заживи.
Выздоравливай, Какаду.
super_kakadu
9 апр, 2016 14:31 (UTC)
Спасибо, Маруся. Я так рад встрече с тобой!
luvida
10 апр, 2016 18:24 (UTC)
Весна пришла, тепло на улице, гуляй больше, вернее, летай!))
lizaru
14 апр, 2016 06:44 (UTC)
Птичка, вы так давно не пишите. Всё в порядке? И вот не знаю, когда у вас день рождения, но где-то недалеко же? Может и невпопад, но всего вам самого хорошего. И возвращайтесь скорее, мы соскучились.
super_kakadu
14 апр, 2016 16:51 (UTC)
Лиза, спасибо большое за тёплые слова, они как палочка-выручалочка работают и очень помогают. И вообще - я всегда знал, что у Вас дар: попугай никогда нигде не писал про свой день рождения, а Вы так попали в яблочко - он действительно был на этой неделе.

lizaru
15 апр, 2016 08:00 (UTC)
Тогда с прошедшим! Уря!
Вы писали про знак Зодиака :)
super_kakadu
15 апр, 2016 23:43 (UTC)
=) Я и забыл об этом. =)
( 48 Уже прокукарекали — Прокукарекать )