super_kakadu (super_kakadu) wrote,
super_kakadu
super_kakadu

Categories:

Попугайная геометрия (12)

Периметр равнобедренной трапеции равен 136. Известно, что в эту трапецию можно вписать окружность, причём боковая сторона делится точкой касания в отношении 9:25. Прямая, проходящая через центр окружности и вершину трапеции, отсекает от трапеции треугольник. Найдите отношение площади этого треугольника к площади трапеции.


Решение.

Равнобедренная трапеция имеет ось симметрии, поэтому рассматриваем всего два случая.

I. Прямую провели из вершины В. (Для вершины С всё аналогично)

Надо найти отношение площади треугольника АВМ к площади трапеции АВСD.

Проведём высоту трапеции ЕТ через центр О, которая одновременно является диаметром окружности.




Треугольники ВЕО и МОТ равны (по стороне и двум углам: ЕО=ОТ=r, углы ВЕО=ОТМ=90 градусов, углы ВОЕ=ТОМ как вертикальные). но АВЕТ - половина трапеции АВСD, следовательно отношение площади треуголника АВМ к площади трапеции АВСD  равно
1/2.

II. Второй вариант - прямую провели из вершины А. (Для вершины D всё аналогично)


Надо найти отношение площади треуголника АLD к площади трапеции АВСD.

Здесь можно воспользоваться свойствами равнобедренной трапеции, но я начну плясать от печки.

1) Из центра окружности проведём радиусы к точкам касания.

Прямоугольные треугольники RBO и ВЕО равны по двум сторонам (ВО - общая, RO=ЕО=r), аналогично равны ЕОС и СОG, треугольники ВЕО и ЕОС тоже равны по двум катетам, поэтому
RB=ВЕ=ЕС=СG=b/2  (где b - основание ВС)

Из тех же соображений RА=АТ=ТD=DG=а/2 (где а - основание АD).

По условию периметр трапеции Р=136, то есть 2а+2b=136, а/2+b/2=34

Но боковая сторона делится точкой касания окружности (точкой R) как 9:25, то есть получаем:
а/2=25, b/2=9

2) Из точки D проведём высоту до продолжения с прямой А
L, и продолжим прямую АL до продолжения основания b

Эти две прямые пересекаются в точке К, которая лежит и на прямой ВС (понятно из подобия треугольников АТО и АDК (коэффициент подобия равен 1/2)

3) Мы получили два подобных треугольника СLК и АLD (по трём углам)

а':a=h':h

а'=(a-b)/2=16
h':h=а':a=16/50=8/25
h=25z
H=h'z+hz=8z+
25z=33z

Площадь треугольника АLD равна
аh/2=(50*25z)/2=625z
Площадь трапеции АВСD равна
(а+b)H/2=((50+18)*33z)/2=1122z

Отношение площадей треугольника АLD и трапеции АВСD
625/1122

Ответы: 1/2; 625/1122


Tags: #геометрия
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 18 comments