super_kakadu (super_kakadu) wrote,
super_kakadu
super_kakadu

Category:

Попугайная геометрия (15)

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB=25 и CD=16 вписан в окружность. Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём ∠ AKB=60°. Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.



Решение.

1)

Треугольник АСD вписан в окружность радиуса R, тогда, используя расширенную теорему синусов, получаем, что

CD/sinCAD=2R

16/sinCAD=2R (**)

2) Аналогично всё и для треугольника АВD

АВ/sinАDВ=2R

25/sinADВ=2R

3) так как у нас одна и та же окружность, то

25/sinADВ=16/sinCAD , следовательно

25/16=
sinADВ/sinСAD    (*)

4) Теперь рассмотрим треугольник АКD

Так как внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним, то

<ADВ+<СAD=60°
<ADВ=60°-<СAD
Далее по ходу решения воспользуемся формулой

sin(α-β)=sinα×соsβ - sinβ×соsα   ,

но сначала вернёмся к выражению (*)


sinADВ/sinСAD=25/16

то есть

sin(60°-<СAD)/sinСAD=25/16

(sin60°×соsСAD - sinСAD×соs60°)/sinСAD=25/16











5) Осталось найти sinСAD, для этого воспольщуемся методом треугольника.

Так как котангенс угла прямоугольного треугольника равен отношению прилежащего катета к противолежащему, то мы можем нарисовать



Тогда можно найти и третью сторону треугольника


получаем, что синус угла равен


Подставив значение синуса угла САD в формулу (**) получаем




Tags: #геометрия
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    default userpic

    Your reply will be screened

    Your IP address will be recorded 

    When you submit the form an invisible reCAPTCHA check will be performed.
    You must follow the Privacy Policy and Google Terms of use.
  • 48 comments